Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Оптика Квантовая физика Ядерная физика Полупроводники Расчет электротехнических устройств Законы Ома и Кирхгофа


Курс лекций по физике Трофимова Для студентов инженерно-технических специальностей

Колебания и волны

Свободные гармонические колебания в колебательном контуре Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (140.1), где s=x:

  (141.1)

Согласно выражениям (140.4) в (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

  (141.2)

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (1412) равна

Кинематика вращательного движения твердого тела Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

  (141.3)

или

 (141.4)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

  (141.5)

или

 (141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

  (141.7)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w0, т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 200 представлены графики зависимости x, T и П от времени. Так как ásin2añ = ácos2añ = 1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (14l.7) следует, что áTñ = áПñ = ½ E.

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6);

 (142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой

  (142.2)

и периодом

  (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

 (142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, Ft= –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

  (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

  (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

  (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

 (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

  (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.


Физические законы механики