Магнитное поле и его характеристики Природа ферромагнетизма Механические гармонические колебания Энергия электромагнитных волн Электротехника


Курс лекций по физике Трофимова Для студентов инженерно-технических специальностей

Физические законы механики

Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Dt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению , от S2 к .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2—E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

E2 – E1 = А, (30.1)

где E1 и E2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Dt. Для перенесения массы m от S1 до  жидкость должна переместиться на расстояние l1=v1Dt и от S2 до  — на расстояние l2=v2Dt. Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F1l1 + F2l2, (30.2)

где F1=p1S1 и F2= – p2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 47).

Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

  (30.3)

 (30.4)

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

  (30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на DV, получим

где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

  (30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv2/2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина rgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1 =h2) выражение (30.6) принимает вид

  (30.7)

где p+rv2/2 называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряют разность давлений:

  (30.8)

где ро — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

  (30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. =133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р1=р2, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v2/v1=S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом v/2 можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли.*

* Э. Торричелли (1608—1647) — итальянский физик и математик.


Курс физики Трофимова