ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ и инженерной графики

ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Общие понятия взаимопринадлежности

 Элементарная (основная) задача на принадлежность, без которой бесполезно пытаться решать любую задачу на ту же тему, - это задача на принадлежность точки к плоскости или к любой криволинейной поверхности. В общем случае:

 Точка принадлежит любой поверхности, если она лежит на какой-либо линии этой поверхности.

 Желательно, чтобы эта линия имела простые проекции (в виде прямых линий или окружностей). Отсюда – три практичных определения принадлежности:

 1). Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой этой плоскости (Рис.28 а).

 2). Точка принадлежит криволинейной поверхности, если она лежит на линии, принадлежащей поверхности при условии, что эта линия имеет простые проекции (Рис.28 б.).

 При отсутствии такой возможности задается или используется готовый каркас поверхности. По нему задаётся любая линия по точкам, по которым она пересекает элементы этого каркаса. Отсюда - третье вынужденное определение принадлежности:

 3). Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит любой линии на каркасе поверхности (рис. 28 в).

 Три определения принадлежности дают возможность говорить о двух способах решения задач на принадлежность точки к любой поверхности. Это:

 1. Способ образующей с простыми проекциями (определения 1 и 2).

 2. Способ случайной кривой на каркасе поверхности (определения 3).

 Решение задач на принадлежность линии к поверхности сводится к многократному повторению основной задачи – на принадлежность точки к поверхности. Число точек, необходимых для построения линии, определяется тем, какая это линия и на какой поверхности она находится.

 Известно, что для прямой на плоскости требуется две точки или точка и направление. Для кривой же линии на любой поверхности требуется теоретически бесконечное, а практически – разумное число точек.

Точка на линии

 Положение о том, что точка на прямой проецируется в точку на проекции этой прямой (одно из инвариантных свойств проецирования) справедливо и для кривой

линии. На комплексном чертеже это свойство должно проявляться, по крайней мере, на двух плоскостях проекций (Рис.29).

 Задачи на принадлежность точки к прямой линии, как видно по чертежу, не вызывают особых затруднений. Кроме тех случаев, когда эта линия – линия уровня, заданная двумя проекциями с единственной линией связи. Как показано на Рис.30.

 Если не строить третью проекцию, то для решения задачи приходится использовать теорему Фалеса. Смысл теоремы в том, что две прямые на плоскости делятся секущими параллельными прямыми на пропорциональные отрезки.


 Пример (Рис.30). Построить недостающую (фронтальную) проекцию точки , принадлежащей отрезку , параллельному плоскости .

 Дано:

______________

.

 Решение:

1).

2). , где

 

3). , .

Проекция точки  -искомая

 Искомая проекция точки должна разделить фронтальную поверхность отрезка AB в таком же отношении, в каком отношении заданная проекция точки  делит профильную проекцию этого отрезка: .

 Воспользуйся теоремой Фалеса. Для этого на произвольной прямой , пересекающей  в точке , отложим отрезок , равный профильной проекции отрезка  Проведя две параллельные прямые   и  получим искомую проекцию точки , поскольку обеспечены условия равенства отношений

Туризм