Кратные интегралы
Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов
Приложения тройного интеграла
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
по прямоугольной области D, ограниченной прямыми
x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (31):
.
Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:
.
Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [0, 1]:
.
Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:
.
Пример 2. Вычислить двойной интеграл 
, если область D ограничена прямыми y = 2, z = y
и гиперболой 
.
Решение. Область D (рис. 23) является простой
относительно оси 0у. Она имеет нижнюю границу и верхнюю границу z=y. При любом фиксированном значении
у из отрезка [1, 2] z меняется от до z=y, поэтому имеем
.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл 
, где область D ограничена прямыми x = 0, y =
1 и кривой x = ln y.
Решение. Область D (рис. 24) является простой относительно оси 0у. Она имеет левую границу х = 0 и правую границу x = ln y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] x меняется от x = 0 до x = ln y, поэтому по формуле (30) имеем
.