Геометрические приложения определенного интеграла
Типовые примеры и их решения
Пример 1. Оценить интегралы: 1) 
; 2) 
.
Решение. Для оценки двух интегралов воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если m – наименьшее, а М – наибольшее значение функции f(x) на отрезке х Î [a, b], то
. (26)
1.
Наибольшего значения функция достигает при х = 2, т. е.
М = f(2) = 
.
Аналогично, при х = 0 m = f(0) = 
.
Так как b – a = 2, то
.
2.
Функции 
и 
монотонно убывают на отрезке 
, монотонно убывает поэтому и их произведение,
так что наибольшее и наименьшее значения подынтегральная функция принимает на
концах отрезка:
.
Учитывая,
что b – a = 
, получаем оценку:
.
Пример 2. Найти среднее значение функции f(x)
= tg2x на отрезке xÎ[0; ].
Решение. Для нахождения среднего значения воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если функция f(x) непрерывна на отрезке xÎ[a, b], то на этом отрезке найдется такая точка x, что
.
(27)
Число 
называется
средним значением f(x) на отрезке [a; b].
Таким образом,
.
Пример
3. Вычислить 
.
Решение. Рекомендуемая подстановка 2x + 1 = t2; x = (t2 – 1)/2; dx = t×dt. Такая подстановка приводит к тому, что иррациональность под знаком интеграла исчезает. При этом изменению переменной х от х = 0 до х = 4 соответствует изменение переменной t от t – 1 до t = 3. Применяя формулу замены переменной для определенного интеграла, получаем
= 
Пример
4. Вычислить 
.
Решение. Данный пример на использование формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:
,
(28)
где символ 
обозначает разность u(b)×v(b) - u(a)×v(a).
Положим u = x,
dv=e-xdx, тогда du= dx, 
Подставляя полученные значения в формулу (7) интегрирования по частям, получаем
