Пример 14. Найти
.
Решение. Данный интеграл с помощью «обратной подстановки»
сводится к интегралу вида
. Действительно, полагая
,
получим
=
.
Пример 15. Найти
.
Решение. Рекомендуемая подстановка x = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos t×dt,
. Имеем
=
Так как
, то
![]()
. Поэтому
=
Пример 16. Найти
.
Решение. Прежде всего в интеграле сделаем подстановку t=x +1 (см. табл. 3), x = t – 1, dx = dt. Тогда x2 + 2x – 3 = (t – 1)2 + 2(t – 1) – 3 = =t2 – 4. Следовательно,
=
.
Рекомендуемая подстановка для вычисления интеграла
. Тогда
.
Таким образом,
=
=
.
,
Возвращаясь к переменной х (z = arccos
; t = x + 1), получим
=
=
Замечание. Для вычисления этого интеграла может быть применена первая подстановка Эйлера (см. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975):
Пример 17. Найти
.
Решение. Данный интеграл – интеграл от дифференциального бинома, т. е. вида
. В нашем случае m = –3, n = 3, p =
;
– целое число. Рекомендуемая подстановка
,
.
Таким образом,
=
На главную сайта |