Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
Из геометрического
смысла определенного интеграла вытекает: если 
на 
, то 
, где 
- площадь криволинейной трапеции (рис.1).
Рассмотрим
теперь случай, когда 
на . Тогда 
на .
Графики этих функций симметричны относительно
оси 
, и потому площадь 
равна площади 
(рис.8), а следовательно:
или 
.
Рис.8
Тогда в общем
случае, когда функция 
меняет знак на , как, например, на рис.9, имеем: 
.
Рис.9
Пусть теперь фигура ограничена графиком
функции (сверху) и 
(снизу), прямыми 
и 
(рис.10). Найдем ее площадь. Для этого перенесем параллельно
оси ординат фигуру вверх на расстояние m так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс
(рис.11). После этого переноса ее ограничивают графики функций 
и 
.
Рис.10 Рис.11
При переносе площадь
не меняется, и поэтому 
–площадь 
.
Пример 44 Найти площадь фигуры, ограниченной
параболами 
и 
.
Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений
(эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и поэтому их координаты удовлетворяют
одновременно уравнениям обеих парабол).
Из этой системы получаем: 
, откуда 
Тогда искомая площадь:
