Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если
на
, то
, где
- площадь криволинейной трапеции (рис.1).
Рассмотрим теперь случай, когда
на
. Тогда
на
.
Графики этих функций симметричны относительно оси
, и потому площадь
равна площади
(рис.8), а следовательно:
или
.
Рис.8
Тогда в общем случае, когда функция
меняет знак на
, как, например, на рис.9, имеем:
.
Рис.9
Пусть теперь фигура ограничена графиком функции
(сверху) и
(снизу), прямыми
и
(рис.10). Найдем ее площадь. Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние m так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (рис.11). После этого переноса ее ограничивают графики функций
и
.
![]()
Рис.10 Рис.11
При переносе площадь не меняется, и поэтому
–площадь
.
Пример 44 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
и
.
Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений
(эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и поэтому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол).
Из этой системы получаем:
, откуда
Тогда искомая площадь:
На главную сайта |