Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Найти моменты инерции относительно осей координат участка однородной прямой , лежащего между осями координат в плоскости .

Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы . Решение. В нашем случае будем вычислять каждый из слагаемых поверхностных интегралов второго рода отдельно.

Пример Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью второго вида, следовательно,

у он = у оо + у чн

Найдем у оо, для чего решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Þ Þ 

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому

  Þ

Правая часть , равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на eax, где a=-1.

В соответствии с таблицей будем искать yчн в виде многочлена нулевой степени, только с неопределенным коэффициентом, т.е. А, умноженного на e-x и на xr, где r = 1, т. к. –1 является корнем характеристического уравнения кратности 1:

.

Т. к. yчн – решение данного уравнения, то после подстановки ее в исходное уравнение вместо y, получим тождество. Найдем предварительно:

Подставим ,  в исходное уравнение:

  Þ

Тогда

.  #

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Ñ Имеем ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью третьего вида. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

  Þ

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому

Запишем правую часть sin x в виде: 0× cos x + 1× sin x, здесь b=1.

При sin x и cos x стоят многочлены нулевой степени , следовательно,

,

где А и В - многочлены тоже нулевой степени только с неопределенными коэффициентами, а r = 0, т. к. числа  не являются корнями характеристического уравнения. Итак,

Подставим ,  в данное уравнение:

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим систему уравнений:

Тогда, т. к. у он = у оо + у чн , то

.  #

История живописи, архитектуры, скульптуры Популярная энциклопедия