Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов

Кратные интегралы Приложения тройного интеграла
Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Пример 7. В двойном интеграле  расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена окружностями ,  и прямыми у = х и у = 2х.

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и . Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по длине дуги (первого рода).

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям:  (*).

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами, правая часть которого является многочленом второй степени  (специального вида, а именно первого). Найдем сначала у оо - общее решение соответствующего ему ЛОДУ:

Составим и решим характеристическое уравнение:

  Þ , следовательно,

Будем искать учн в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами, умноженного на xr, если ноль является корнем характеристического уравнения кратности r.

Но т. к. k = 0 не является корнем характеристического уравнения, то r = 0, и тогда окончательно

.

Поскольку у чн - решение данного уравнения, то при подстановке у чн в это уравнение вместо у получим тождество. Предварительно найдем  и .

Подставим , ,  в данное уравнение:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:

Решив ее, получим: A=1, B=0, C=0. Таким образом, .

На основании формулы (8) имеем:

.  (9)

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (*), найдем :

Подставим 0 вместо х, 1 вместо , а 3 вместо  в , . Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

  Þ С2=0.

Подставив найденные С1 и С2 в (9), получим:

.  #

История живописи, архитектуры, скульптуры Популярная энциклопедия