Математика Типовые примеры и их решения

Пример. Найти неопределенный интеграл  Результат проверить дифференцированием.

Пример. Найти . Решение. Нахождение данного интеграла от рациональной дроби  можно условно разбить на 3 этапа:

Пример 10. Найти . Решение. Применяя понижение степени тригонометрических функций

Пример 14. Найти . Решение. Данный интеграл с помощью «обратной подстановки»  сводится к интегралу вида .

Геометрические приложения определенного интеграла Пример 2. Найти среднее значение функции f(x) = tg2x на отрезке xÎ[0; ].

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = 2а cos3j.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х одной полуволны синусоиды y = sin x (0 £ x £

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение, которое имеет вид:

,  (7)

где p, q – некоторые действительные числа. Решение этого уравнения сводится к решению алгебраического уравнения, называемого характеристическим. Чтобы получить характеристическое уравнение, в уравнении (7) заменяем   на k, а  - на k2.

* - характеристическое уравнение.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

а) , б) ,  в)

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

  Þ

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Имеем ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:

 Þ

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

.  #

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Данное уравнение является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

  Þ .

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение ЛОДУ имеет вид: , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

7 . Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p, q – некоторые действительные числа,  - правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (у он) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (у оо) и частного решения ЛНДУ (у чн):

у он = у оо + у чн (8)

О нахождении у оо смотрите п. 6. Следующая таблица помогает найти у чн:

 

Замечание

1

Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности r.

2

Число α является корнем характеристического уравнения кратности r.

3

Числа ±βi являются корнями характеристического уравнения кратности r.

S=max(m,n)

4

Числа α±βi являются корнями характеристического уравнения кратности r.

S=max(m,n)

  - данные многочлены степени n и m соответственно.    - многочлены той же степени только с неопределенными коэффициентами.

История живописи, архитектуры, скульптуры Популярная энциклопедия