Примеры решения задач Функции нескольких переменных

Задача. Найти область определения функции .

Задача. Найти частные производные первого порядка следующих функций: .

Геометрический смысл частных производных первого порядка Задача Через точку  поверхности  проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YOZ. Определить углы, которые образуют с осями координат OX и OY касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке

Дана функция . Доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению .

Приложения производных функции Полный дифференциал функции двух переменных и его приложение в приближенных вычислениях

 Решение. Найдем стационарные точки, в которых  (необходимые условия экстремума):

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D Задача . Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции   в прямоугольнике .

Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля   в точке .

Геометрические приложения частных производных Задача. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   (гиперболический параболоид) в точке .

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:

 

  (5)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (5).

.

Т.к. y = uv, то  - общее решение данного уравнения. #

5 . Дифференциальные уравнения второго порядка, которые явно не содержат х или у, т. е. уравнения вида  или , допускают понижение порядка. С помощью соответствующей подстановки их решение сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение имеет вид , т. е. не содержит явно у, следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку:

 ,

после этого уравнение примет вид:

 или  (6)

Это уравнение является однородным, т. к. в этом уравнении справа стоит функция . С помощью подстановки  от уравнения (6) перейдем к уравнению с разделяющимися переменными: .

.

Учитывая, что , получим

  - общее решение данного уравнения. #

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки . После применения подстановки получим уравнение: , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

Т. к. , то  - это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:

  - общий интеграл исходного уравнения. #

История живописи, архитектуры, скульптуры Популярная энциклопедия