Типовой расчет по математике

Основные методы вычисления определенного интеграла Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница Метод заключается в вычислении первообразной для подынтегральной функции (т.е. в вычислении неопределенного интеграла) и применении затем формулы Ньютона-Лейбница.

Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла Пример Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

Несобственные интегралы При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что отрезок интегрирования является конечным. Если промежуток интегрирования бесконечен, то требуется специальное определение таких интегралов – они называются несобственными.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения  

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Пример. Найти общее решение уравнения

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Структура решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения  [an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач.

1 . Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

 (1)

т.е. при dx – коэффициент, зависящий только от x, а при dy – только от y.

Общее решение его имеет вид:

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения x dx + y dy = 0

Ñ Возьмем интеграл от каждого слагаемого, стоящего слева, а справа – нуль заменим на произвольную постоянную С.

  #

Заметим, что постоянную С можно записывать как  ln C, 2 C, sin C и т.д., исходя из удобства записи общего решения.

2 . Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

 

(2)

 

т.е. коэффициенты при dx и dy можно представить как произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от x, а второй – только от y. Чтобы привести уравнение (2) к виду (1), разделим все члены уравнения (2) на N1(y)M2(x):

А это уравнение является уравнением с разделенными переменными.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Ñ Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными т.к. коэффициент при dx представляет собой произведение двух сомножителей: ex зависит только от x, а (1+y2) – только от y. Аналогично, коэффициент при dy тоже является произведением двух сомножителей: (1+ex) зависит только от x, а второй сомножитель – y.

Чтобы привести его к виду с разделенными переменными, разделим все члены уравнения на (1+ex)(1+y2), в результате получим:

Решим это уравнение.

Здесь произвольную постоянную удобнее взять в виде ln C.

  (3)

Это - общий интеграл исходного уравнения. Подставив  вместо y, а 0 вместо x (см. начальные условия), получим:

Подставив С = 1 в (3), получим частный интеграл:

  (4)

Если равенство (4) разрешить относительно у, то получим частное решение дифференциального уравнения:

  #

3 . Уравнение  называется однородным, если f(x,y) удовлетворяет условию: , где  -- некоторое число. Однородным будет также уравнение . Решается это уравнение с помощью подстановки .

Пример 3. Решить уравнение .

Ñ Данное уравнение является однородным:

  Þ

.

Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Вернемся к первоначальной переменной:   - общий интеграл исходного уравнения. #

4 . Уравнение вида  называется линейным. Если , то уравнение  называется линейным однородным (ЛОДУ), если , то уравнение  называется линейным неоднородным (ЛНДУ). Интерес представляют ЛНДУ, т.к. ЛОДУ являются уравнениями с разделяющимися переменными.

История живописи, архитектуры, скульптуры Популярная энциклопедия