Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Управляемые источники тока и напряжения Анализ цепей методом комплексных амплитуд Баланс мощностей Метод контурных токов Метод узловых напряжений

Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Анализ электрических цепей

Формирование топологических уравнений цепи

Топологические свойства цепи полностью определяются ее графом, которому ставятся в соответствие топологические матрицы: матрица узлов А, главных контуров В, матрицу сечений Q и др. Правила их формирования указаны главе 1. Эти матрицы связаны между собой определенными соотношениями так, что всегда, зная одну из них, можно определить любую другую. Наиболее просто формируется узлов, так как при этом не требуется строить дерево определять соответствующую систему или сечений.

Введённые компонентные и топологические матрицы относятся к разреженным матрицам, то есть содержат большое число нулевых элементов. Как правило, в памяти ЭВМ хранится информация только о ненулевых элементах матриц. При использовании описанного п. 9.2 способа описания цепи основная система уравнений электрического равновесия содержит 2р (где р – ветвей схемы). Количество может быть уменьшено за счёт исключения из основной системы зависимых токов напряжений с помощью методов узловых контурных токов.

9.4. Использование метода узловых напряжений для машинного анализа

В матричной форме зависимость напряжений ветвей от узловых определяется узловым преобразованием: Основные законы теории электромагнитного поля

U = ATUi0, (9.5)

где АТ – транспонированная матрица узлов,

U, Ui0 – матрицы-столбцы напряжений ветвей и узловых напряжений.

Для формирования системы узловых уравнений рассмотрим уравнение цепи в форме Y (9.4). Умножим матрицу узлов на каждое слагаемое:

А I =А J + АYвU –AYвUe.

Левая часть уравнения представляет собой матричную запись баланса токов, поэтому

А J + АYвU –AYв Ue = 0.

Выражая напряжения ветвей через узловые согласно (9.5) и выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме:

АYвАТUi0 = А(Yв Ue– J),

или

YijUi0 = Ji0,

где Yij – матрица узловых проводимостей, Jio матрица-столбец токов,

Y = АYвAT, J = A(YвUe - J).

Поскольку компонентные и топологические матрицы содержат большое количество нулевых элементов, при формировании используют специальные алгоритмы, учитывающие разреженность матриц исключающие тривиальные операции над нулевыми элементами.

9.5. Использование метода контурных токов для машинного анализа

В матричной форме токи всех ветвей цепи могут быть выражены через главных (контурные токи) с помощью контурного преобразования:

I = BTIii, (9.6)

где BТ – транспонированная матрица главных контуров,

I, Iii – матрицы-столбцы токов ветвей и контурных токов.

Для формирования системы контурных уравнений рассмотрим уравнение цепи в форме Z (9.5). Умножим матрицу главных контуров на каждое слагаемое:

BU = BUe + BZвI – BJ,

Левая часть уравнения представляет собой матричную запись баланса напряжений, поэтому

BUe + BZвI – BJ = 0.

Выражая токи ветвей через контурные согласно (9.6) и выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме:

BZвBТIii = B(Zв J– Ue)

или>

Zij Iii = Eii,

где Zij – матрица контурных сопротивлений, Eij матрица-столбец э. д. с.,

Z = BZвBT, Eii = B(ZвJ - Ue).

Аналогично формируются матрицы для цепи, находящейся под произвольным (не гармоническим) воздействием. Компонентные Zв и Yв содержат в этом случае операторы интегрирования дифференцирования, а узловые контурные уравнения производные интегралы от неизвестных функций времени.

Метод контурных токов не обладает какими-либо преимуществами по сравнению с методом узловых напряжений, однако процесс формирования уравнений электрического равновесия помощью этого метода несколько сложнее вследствие необходимости выбора дерева графа исследуемой цепи и связанной деревом системы независимых контуров.


Электротехника лабораторные работы