Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Управляемые источники тока и напряжения Анализ цепей методом комплексных амплитуд Баланс мощностей Метод контурных токов Метод узловых напряжений

Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Анализ электрических цепей

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей: токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей.

Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р — рит — q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями.

 Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей источников тока, схема которой приведена на рис. 7.1, а.

Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаемся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. Контурный ток i-гo контура Iii равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи. Например, для рассматриваемого примера

 

Таким образом, если определить токи главных ветвей, то, используя соотношения (3.5), можно найти токи остальных ветвей цепи, а затем найти неизвестные напряжения ветвей. Следовательно, для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Из соотношения (7.5) также следует, что максимальное количество токов ветвей, которые могут быть заданы независимо, не может превышать числа главных ветвей. Расчет методом контурных токов Составим котурную матрицу В. Количество строк матрицы равно числу q независимых контуров, а номер строки - номеру контура графа. Число столбцов матрицы n соответствует числу ветвей в схеме (n= 9), номер столбца определяется номером ветви. Отметим, что элементы строки матрацы В являются коэффициентами уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для соответствующего электрического контура.

Для определения токов главных ветвей цепи (см. рис. 7.1) воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи главных ветвей. Подставляя (7.3), (7.5) в уравнение (7.2), получаем:

 

На практике контурные уравнения формируют не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия, поэтому применение этого метода позволяет упростить и составление, и решение уравнений электрического равновесия цепи.

В матричной форме система уравнений вида (7.6) запишется в следующем виде:

,

где Zij – матрица сопротивлений контуров,

Iii – матрица контурных токов,

Еii – матрица контурных ЭДС.

Для рассматриваемого примера


Сформулируем правила составления контурных уравнений.

1. Формирование Zij.

Собственным сопротивлением Zii i-гo контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В цепи (см. рис. 7.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 7.1, в—д), их собственные сопротивления:

Z11=Z1+Z4+Z6, Z22=Z2+Z5+Z6, Z33=Z1+Z2+Z3.

Взаимным, или общим, сопротивлением i-гo и j-го контуров называется сопротивление Zij, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то взаимное сопротивление берут со знаком минус. Если рассматриваемые контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю. Взаимные сопротивления контуров цепи (см. рис. 7.1):

Z12=Z21=Z6, Z13=Z31=Z1, Z23=Z32= - Z2.

Для линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, матрица контурных сопротивлений квадратная и симметричная относительно главной диагонали.

2. Формирование Iii.

Это матрица-столбец неизвестных контурных токов.

3. Формирование Еii.

Контурная э. д. с. Еii i-гo контура – это алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с. входит в Eii со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Контурные э. д. с. рассматриваемой цепи:

Решая систему уравнений (7.6) любым из методов, можно найти все неизвестные контурные токи цепи.

Например, выражение для контурного тока kk-го контура при использовании формулы Крамера

 

где — определитель системы уравнений (7.6); ij— алгебраическое дополнение элемента Zij этого определителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражения для контурных токов всех остальных контуров. На практике обычно используют более экономичные методы, такие, как метод исключения Гаусса.

При составлении контурных уравнений цепей, граф которых является планарным, в качестве независимых удобно выбирать контуры, соответствующие ячейкам графа.

Если электрическая цепь содержит независимые источники тока, то следует:

заменить источники тока независимыми источниками напряжения с помощью эквивалентных преобразований,

либо

выбрать дерево цепи таким образом, чтобы ветви с источниками тока вошли в состав главных ветвей. Количество неизвестных контурных токов сокращается при этом на число независимых источников тока. Матрица контурных сопротивлений в этом случае будет не квадратной: число столбцов будет равно числу независимых контуров, а число строк — числу неизвестных контурных токов.

Метод контурных токов можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом усложняется.


Электротехника лабораторные работы