Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Управляемые источники тока и напряжения Анализ цепей методом комплексных амплитуд Баланс мощностей Метод контурных токов Метод узловых напряжений

Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Анализ электрических цепей

Метод комплексных амплитуд

Понятие о символических методах

Установившиеся значения токов и напряжении линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи

 (3.6)

при , однако даже для относительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. На практике анализ таких цепей обычно выполняют с помощью метода комплексных амплитуд, разработанного в конце прошлого века американскими инженерами Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели. Большой вклад в развитие и теоретическое обоснование метода комплексных амплитуд внесли профессор Петербургского политехнического института В. Ф. Миткевич и советский ученый академик АН УССР Г. Е. Пухов.

Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символами исходных функций. Методы такого типа называются символическими. Независимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:

прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям);

определение изображений искомых величин путем выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;

обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений к оригиналам.

Комплексные изображения гармонических функций времени

Каждой гармонической функции времени  можно поставить в соответствие комплексное число , называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции:

 (3.7)

модуль которого равен амплитуде гармонической функции , а аргумент – её фазе . Как видно из выражения (3.7), вещественная часть мгновенного комплекса  равна исходной гармонической функции


Геометрически мгновенный комплекс  может быть представлен в виде вектора , длина которого  в определенном масштабе равна амплитуде  соответствующей гармонической функции, а аргумент  изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции . Для того чтобы обеспечить этот закон изменения аргумента, вектор  должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью  (рис. 3.1). В момент времени  вектор  должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол , равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Как видно из рис. 3.1, проекция вектора   на вещественную ось в выбранном масштабе времени равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени .

Значение мгновенного комплекса  в момент времени  называется комплексной амплитудой   гармонической функции времени :

  (3.8)

Из выражения (3.8) следует, что комплексная амплитуда гармонической функции времени  представляет собой комплексное число, модуль которого равен амплитуде  рассматриваемой функции, а аргумент – ее начальной фазе . Геометрически комплексная амплитуда мажет быть представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом  к вещественной оси, длина которого в определенном масштабе равна .

Используя понятие комплексной амплитуды, выражение (3.7) для мгновенного комплекса  может быть преобразовано к следующему виду:

 (3.9)


Вектор , называемый оператором вращения, имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения , начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью .

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цени  может быть поставлен в соответствие текущий комплекс . Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды  на оператор вращения . Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжении всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.

Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому информация о них при известной частоте содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и, обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.

Наряду с комплексной амплитудой  в качестве изображения гармонической функции   в комплексной плоскости широко используют другую комплексную величину – комплексное действующее значение . По определению, комплексное действующее значение гармонической функции  представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению  гармонической функции, а аргумент – её начальной фазе :

 (3.10)

Используя выражения  и (2.9), можно установить связь между комплексной амплитудой гармонической функции и ее комплексным действующим значением :

  (3.11)


Электротехника лабораторные работы