Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Управляемые источники тока и напряжения Анализ цепей методом комплексных амплитуд Баланс мощностей Метод контурных токов Метод узловых напряжений

Электротехника и теория цепей Законы Ома и Кирхгофа Анализ электрических цепей

Уравнения электрического равновесия

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами. Если ко входам прикладывается внешнее воздействие, то на выходах наблюдается реакция.

В теории цепей решается две взаимообратные задачи.

1) задача анализа.

Исходные данные: воздействие, схема цепи, параметры всех элементов. Требуется определить реакцию цепи. В ряде случаев определяется не сама реакция, а отношение реакции цепи к воздействию. Такие отношения называются системными функциями (характеристиками) цепи. В зависимости от того, что является аргументом системной функции – частота или время, различают временные и частотные характеристики.

2) задача синтеза.

Исходные данные: воздействие на цепь и реакция цепи. Требуется определить структуру цепи и параметры элементов.

Анализ и синтез взаимосвязаны. Для того, чтобы проводить синтез цепей, необходимо владеть анализом.

Точность и корректность анализа во многом зависят от выбранных моделей элементов цепи. Цепь, составленная из моделей элементов, называется расчётной (моделирующей) цепью (в отличие от реальной). Далее в курсе будут рассматриваться расчётные электрические цепи, однако для краткости слово «расчётная» или «моделирующая» пропустим.

Математически задача анализа сводится к составлению и решению системы уравнений, в которой неизвестными являются токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Так как данная система описывает состояние цепи (токи и напряжения ветвей) в любой момент времени, то уравнения называются уравнениями электрического равновесия. Если все уравнения в системе первого порядка, то число независимых уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Для формирования уравнений электрического равновесия используются законы Кирхгофа и компонентные уравнения. На практике применяют методы, позволяющие упростить формирование уравнений электрического равновесия: методы контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния, методы, основанные на использовании теорем теории цепей.

Система уравнений электрического равновесия может быть преобразована в одно дифференциальное или алгебраическое уравнение относительно одного неизвестного тока или напряжения. Дифференциальное уравнение содержит информацию о характере процессов в цепи и является основой для классификации цепей. Тип дифференциального уравнения определяется топологией цепи и характером входящих в неё элементов.

Классификация электрических цепей

Электрические цепи могут быть классифицированы по ряду признаков

по топологическим особенностям: планарные – непланарные (плоские –объёмные), разветвлённые – неразветвлённые, простые – сложные и т.д.

по энергетическим свойствам: активные – пассивные,

по числу внешних выводов: двухполюсники, трёхполюсники, многополюсники.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи.

Цепи с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такое описание справедливо, если длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. При этом каждый из основных электрических эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых областей.

Цепи с распределёнными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это описание справедливо, когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства, и необходимо учитывать зависимость токов и напряжений от пространственных координат.

Линейные цепи (цепи, не содержащие нелинейных элементов) описываются линейными дифференциальными уравнениями. Нелинейным электрическим цепям соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения.

Параметры пассивных элементов и коэффициенты управления управляемых источников могут быть постоянными, либо изменяться с течением времени под действием различных факторов. Если цепь содержит только элементы с постоянными параметрами, то она описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Если в цепи есть хотя бы один элемент с изменяющимися параметрами, ло цепь называется параметрической и описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет вид:

где s(t) - искомая реакция цепи;

a0, an-1, an – коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления источников;

f(t) –линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие, и их производных.

Порядок дифференциального уравнения равен порядку сложности цепи и равен числу реактивных элементов, энергетическое состояние которых может быть задано независимо.

Состояние теории цепей во многом зависит от уровня развития теории дифференциальных уравнений. В настоящее время наиболее законченный вид имеет теория линейных электрических цепей с постоянными коэффициентами.

Выводы

Для описания соединений элементов используют термины: последовательное соединение, параллельное соединение, смешанное соединение и др.

При топологическом описании цепи используют понятия ветвь, узел, контур.

В произвольной электрической цепи выполняются условия баланса токов в узле и напряжений в контуре, выражаемые законами Кирхгофа.

Математическое описание цепи – система уравнений электрического равновесия. Она формируется из топологических уравнений (составленных по законам Кирхгофа) и компонентных уравнений (устанавливающих связь между током и напряжением на элементе).

Система уравнений электрического равновесия преобразуется в одно уравнение, вид которого определяется свойствами цепи.

Классификация цепей производится в зависимости от вида уравнения электрического равновесия.


Электротехника лабораторные работы